Die Domain ist die Adresse deiner Website, zum Beispiel deine-firma.ch.
Eine Domain wird nicht gekauft, sondern gemietet, Jahr für Jahr. Du registrierst sie bei einem Anbieter und verlängerst sie regelmässig. Sie ist unabhängig vom Hosting: Domain und Website können bei verschiedenen Anbietern liegen, ohne dass es jemand merkt.
Die Domain gehört auf deinen Namen und in dein eigenes Konto. Das ist keine Frage des Misstrauens, sondern der Ordnung: Wer die Domain hält, entscheidet über Website und E-Mail. Am besten klärst du das, solange man sich noch gut versteht.